Мозаик Tromino од Нортон Стар

http://www3.amherst.edu/~nstarr/trom/intro.html

За мозаик – физичка и виртуелнаtrom

v-21Основната загатка се состои од 21 десен агол обликувани парчиња ( “плочки”) од тој вид што е прикажано, составена од три плоштади, еден дополнителен еден квадратен плочка; и авион, 8 × 8 квадратни мрежа чија квадрати со иста големина како оние на плочки. Плочите заземаат вкупно 3 × 21 + 1 = 63 + 1 = 64 квадрати, со ист број на квадрати како на checkerboard. Во она што следува, ние го нарекуваме овие аголни парчиња trominoes, како наједноставен на неколку имиња кои се користат за нив, кои вклучуваат L-trominoes, L-triominoes и V-trominoes.

За да пуштите некоја физичка верзија на оваа загатка, со користење на 21 реалните tromino плочки, еден квадратен парче, и 8 × 8 checkerboard како база, првата позиција на еден квадратен плочка на која било од 64 квадратни локации врз основа. Потоа пополнете останатите 63 квадрати со trominoes, така што не постои преклопување и не неисполнет плоштад. Ваквото решение на загатката се нарекува поплочување на плоштадот 8 × 8. Алтернативно, почнете со последователно поставување trominoes во базата checkerboard (секоја таква плочка се занимава само три квадрати на модел на мрежа), и кога сите 21 се позиционирани, место на еден квадратен плочка во една позиција што останува на располагање.
Еве позадина на комерцијалната верзија на оваа загатка, на пазарот од страна Kadon претпријатија. Во јануари 2000 година годишниот состанок на Математичка асоцијација на Америка, Артур Бенџамин го доби наградата Haimo за истакнати настава колеџ. Во својот говор тој скицираше неговиот омилен доказот со индукција. Ова размислување уверува дека 2n × 2n ќелијни квадратни (т.е. генерализирана checkerboard со 2n плоштади заедно секоја страна) со една ќелија окупирана, секогаш може да се плочки од trominoes. Три години по сослушувањето забелешки Бенјамин давав предавање на индукција и се сеќава неговата омилена доказ. Дополнување ми подготвени примери, реклама libbed овој класичен аргумент, се должи на Соломон Golomb. Мислејќи дека е вистински мозаик од овој вид ќе додадете елемент на реалноста и би можело да предизвика интерес во методот на индукција, јас испрати нота до Kadon, водечки производител на загатка, да се види дали тие имаат било што може да ги купат. Тие не, па го прашав дали тие ќе се направи некои со спецификациите ми. A серија на пораки со Кејт Џонс, претседател на Kadon, доведоа до загатка од тој вид што е прикажано погоре лево. Таа предложи употреба на повеќе различни бои за tromino плочки, со што овој повеќе интересна загатка отколку што првично предвидуваше. Се определив за кулер, проѕирни плочки отколку храбар, нетранспарентно оние, и избра сина, аква и аметист за trominoes.

Кејт праша дали јас ќе ги споделите со Kadon додадете сложувалката на низа на предмети што ги продаваат и јас веднаш се согласи – Јас само сакав некои за мојата сопствена употреба. На мое изненадување, таа изјави дека ќе се примаат плата. Тоа никогаш не беше мојата цел, и сите мои приходи од авторски права се донирани на Амхерст колеџот и Математичка асоцијација на Америка.
Kadon изведоа сложувалката под името “Vee-21”; види www.gamepuzzles.com/polycub2.htm#V21. Ова комерцијална верзија, во три живи, проѕирни акрилни бои, доаѓа со брошура четириесет страница нуди голем број на подобрувања на основните загатка. Кејт придонесе некои екстензии од сложувалката, некои две лице стратегија игри, и предлог на барањата за сепарација на бои за tilings некој би можел да се обиде. Таа, исто така откриле естетски можности во правење симетрични шеми. Кејт поканети Ориел Maxime да придонесе некои од неговите лавиринт-како предизвици за поплочување со trominoes и брошурата вклучува голем број на правоаголни шаблони со стратешки избрани линии на мрежите затемнет за да служи како бариери преку кои не можат да се trominoes.
се предвидени две интерактивни компјутерски загатки на овој вид овде. загатка 8-по-8 беше развиена од страна на две од моите ученици, додека одделенски колега придонесе сложувалката М-по-N. загатка М-по-N (игра на повеќето системи, но може да биде бавно да се вчита) е малку повеќе флексибилни, овозможувајќи и на изборот на било кој број на редови и колони помеѓу 2 и 32, инклузивна. загатка 8-по-8 (игра најдобро со Internet Explorer на компјутер) има различни акција глувчето и е корисно ограничени на три бои на tromino. Насоки се дадени со секоја од нив. Онлајн и Kadon двете верзии имаат невообичаени широчината на жалба, интригантна за четири годишна возраст, како и искусни puzzlers.

историја

Доказ дека за секој позитивен цел број n, на 2n × 2n плоштад со една ќелија окупирана (а “дефицит” плоштад) секогаш може да се плочки од trominoes се должи на Соломон Golomb. Тој го објави во својата статија 1954 [9] во американската Математичка Месечен. Како што е наведено погоре, тоа е за да се илустрира аргумент Golomb за 2n × 2n дефицитарни плоштади кои сложувалката е овластена. Неговиот истиот член воведе во печатените терминот tromino и генерализација, polyomino. А polyomino е поврзана низа на идентични квадрати има на имотот што било кои два плоштади или да не се допира или на друго место се сретнат цела, заеднички предност. само две tromino форми на три плоштади во ред и L-облик на оваа загатка, и овде “tromino” се однесува само на вторите.

доказ Golomb е на пример првата стапка на математичка индукција. Надвор од чиста елеганција на аргументот, тоа е редок пример на nonnumerical примена на методот. Ова е во контраст со примери и вежби често се наоѓаат во учебникот третмани на индукција, кои обично се состојат од различни формули за конечни суми, нееднаквости, и слично. Првиот настап на доказ во популарен медиум беше во рекреативни математика списание Јосиф Madachy е (RMM), каде Golomb вклучен во првиот од четири-серија на статии за polyominoes објавени во RMM [10]. Во семената мај Мартин Гарднер, 1957 Scientific American колона воведување polyominoes на пошироката јавност, тој забележал дека “табла со еден квадратен недостасува во секој момент, можат да бидат покриени од страна на 21 право trominoes” [6, стр. 154]. На својата прва книга собрани математички игри колони, Гарднер елаборирани од страна забележувајќи дека “генијален аргумент индукција покажува дека 21 право trominoes и еден monomino ќе ги покрие табла 8-по-8, без оглед на тоа каде се поставени monomino” [8, стр. 126].

Аргументот на tromino облицовка за дефицитарни checkerboards и општата 2n × 2n теорема се појави во сукцесијата на книги од членовите месечни и RMM. Беше објаснето во класичен Polyominoes Golomb е [11, 1965, стр. 21-22] и во второто издание на книгата [11, 1994, стр. 5]. Второто издание дава богата историја и опсежно истражување на оваа интригантна тема, и е исполнет со слики и загатки. Нејзините 22 страници на референци, повикувајќи се на книги и статии, се дополнителен бонус. Индексот на имиња се наведени 81 лица, неколку од повеќе од еднаш во телото на книгата. Многу од нив ќе бидат признати од страна на играта познавачите и аматерски математичари, како и од страна на професионалци во било која област. Опис на книгата е дадена во преглед [17] од страна на Џорџ Мартин. Во 1976 година, Рос Honsberger даде луциден, детални примената на аргументот Golomb кон Проверка на одборот во неговата математичка камења II [13, стр. 61]. Основната идеја на доказот, исто така, се споменува во книгата на Џорџ Е. Мартин посветен на polyomino tilings [16, стр. 27-28]. преглед Дејвид Singmaster е [22] од овој вториот книга е особено интересна, затоа што тоа му дава убава скица на предмет и неговата историја.

Оваа тема е се повеќе заеднички билет за текстовите и проблем книги. На пример, таа се појавува во дискретната математика текстовите на Сузана ЕПП [5, стр. 234], Ричард Johnsonbaugh (кој се споменува tromino tilings на правоаголници кои произлегуваат во VLSI дизајн распоред) [14, стр. 58-59], и Кенет Росен [20, стр. 247-8]. Tromino поплочување, исто така, се третира во книгата на Даниел Velleman е за изградба на докази [26, стр. 271-275] и проблемот книги од Џон П. D’Angelo и Даглас Б. Запад [1, стр. 75] и со Јиржи Херман, Радан Kučera и Jaromír Šimša [12, стр. 271]. Најмногу кристална илустрација на аргументот Golomb е резервен “доказ без зборови”, Роџер Nelsen е даден во својата втора книга на таа титула [19, стр. 123].

Оваа област на рекреативни математика има корист од континуиран прилив на истрагата и предложи проблеми. Во 1985 и 1986 година, I-Пинг Чу и Ричард Johnsonbaugh проучувале прашањето за поплочување дефицитарни n × n табли, каде што n веќе не треба да биде со моќност од 2, и, генерално, мал и не-дефицитарни правоаголни плочи [3, 4 ]. книга на Џорџ Мартин вклучен цело поглавје посветено на tromino tilings [16, стр. 23-37]. Боја проблеми за tromino поплочување се третираат од страна Ilvars Mizniks, кој признава страница за одбирање бои на Kadon Vee-21 како инспирација за неговото истражување [18]. Член од 2004 година [2] од страна на Ј Маршал Пепел и Соломон Golomb, за tromino поплочување на дефицитарни правоаголници, содржи неколку нови и основни резултати, од кои еден ќе одговори на стариот прашање на Чу и Johnsonbaugh. Пепел и Golomb заврши со отворен проблем околу 2-дефицитарни правоаголници (правоаголници со две клетки се отстрани).

Интернетот е добар извор на поплочување прикажува и информации. На пример, пребарување на “tromino” и “облицовка” врти аплети како што се оние на Александар Bogomolny во www.cut-the-knot.org/Curriculum/Games/TrominoPuzzle.shtml и Кристофер Mawata во www.utc.edu/Faculty/Christopher-Mawata/trominos/, кои илустрираат tromino.

варијации

Еве неколку проширувања на загатка tromino што читателите може да се разгледа. Првиот беше предложено од страна на брат ми Raymond (Пит), кој праша како некој би можел да се организира trominoes во мрежата 8 × 8 цел да се зголеми бројот на слободни плоштади. Ова може да се елаборираат: еден пат ќе се претпостави плочки и мрежата се velcroed па тие ќе останат во место, додека пак еден може да им овозможи на плочки да се лизга за да се овозможи стегајќи во колку плочки како е можно (секогаш во линиите на мрежата). Пит не бил свесен дека верзијата на велкро е варијација на pentomino позиционирање загатка Golomb е како што е опишано од страна на Гарднер [7, стр. 128] и [8, стр. 133]. Golomb прошири оваа загатка за две лице pentomino игра [7, стр. 128] и [8, стр. 133-135], правилата за кои може да се примени загатка tromino, како и. Дејвид Klarner објави во две лице pentomino игра, Пан-Каи (развиена од страна на Алекс Рандолф и издадена во 1961 година од страна на Филипс Издавачи), во која беа вклучени следните ограничувања: “најважно правило е дека е забрането да се игра парче во внатрешноста на затворен регионот на одборот доколку помалку од 5 клетки потоа ќе останат ненаселени, освен ако не сте во движење токму исполнува регионот. “[15, стр. 8] (Види [21, стр. 75] за повеќе информации за Рандолф и Пан-Каи.)
Друга насока е три димензионална. Размислете за коцка со страна должина 2n, кои содржат 23n единица клетки, од кои една е окупирана (еден недостаток.) ​​Може останатите клетки се поплочен со три димензионален trominoes (три коцки во L-облик, со две од нив исполнување на третото место на две соседни лицата на второто)? Потребните услов 2n = 3k + 1 се испоставува дека е доволно, како и. [23 Поглавје 6: Нортон Стар е 3-димензионална Tromino Облицовка], [. 24, стр 72-87] и [25] Во случај на 4 × 4 × 4 коцка претставува некои скромни предизвиците со кои може да се забавуваат младите puzzlers.
Поедноставно проблеми лесно се предложи и да се смета од страна на многу други. На пример, може целосно 3 × 3 и 6 × 6 квадратни низи се поплочен со trominoes? Да секој дефицит на 5 × 5 и 7 × 7 квадратни низа се плочки? Овие последните две загатки се поголем предизвик од целосна 3 × 3, 6 × 6 и дефицитарни 8 × 8 случаи. Одејќи понатаму, читателите можат да сметаат на различни tilings правоаголни низи – види референци подолу. Кога користите верзија со повеќе од една боја на tromino, како што се Kadon Vee-21, се разгледа различни бои ограничувања. На пример, обидете се уредување на плочки, така што нема две од иста боја за споделување на раб. Во спротивна насока, обидете се да се групираат како многу плочки од иста боја заедно што е можно. И за овие типови на моделот, се обиде дополнително да се направи поплочување појави симетрична околу дијагонала или за хоризонтална или вертикална линија. Можностите за забава и откривање се многубројни. Различни правоаголници големина може да се изучува со кликнување на загатка М-по-N. За експерименти боја шема, сложувалката Kadon е најдобар.

референци

  1. J. P. D’Angelo и Д. Б. Запад, Математичка размислување: решавање на проблемите и докази, второ издание, Prentice Hall, Горна Река самарче, Њу Џерси, 2000 година.
  2. J. M. Пепел и С. В. Golomb “, поплочување дефицитарни правоаголници со trominoes” Математика. Маг., 77 (2004), 46-55. (Достапно на math.depaul.edu/~mash/TileRec3b.pdf)
  3. I. П. Чу и Р. Johnsonbaugh “, поплочување дефицитарни табли со trominoes” Математика. Маг., 59 (1986), 34-40.
  4. I. П. Чу и Р. Johnsonbaugh “Облицовка табли со trominoes” Ј Рекреативни математика., 18 (1985-1986), 188-193.
  5. С. С. ЕПП, Дискретна математика со апликации, трето издание, Томсон, Белмонт, Калифорнија, 2004 година.
  6. М. Гарднер, “За извонредна сличност меѓу Icosian на играта и Кулата на Ханој,” Scientific American, 196 (мај, 1957), 150-156. Оваа колона беше првенствено наменети за Хамилтон кола, но завршува со делот за проблемите checkerboard облицовка: Гарднер вели дека checkerboard / проблем домино колоната февруари, “прашан Октав Levenspiel на Bucknell Универзитетот да се јавите моето внимание на извонреден напис од SW Golomb во американската Математичка месечно за декември 1954 година “
  7. М. Гарднер, “Повеќе во врска со комплексни домино, плус одговори на минатиот месец загатки,” Scientific American, 197 (декември, 1957), 126-140. Овој математички игри колона започнува со пријавување на експлозивни влијанието на кус преглед на колоната може на работа Golomb [6]: “Во годината од овој оддел беше инаугуриран, тоа има добиено повеќе писма за еден математички рекреација од било кој друг … на” pentomino ” проблем … Стотици дописници испратени во многу различни решенија. Многу сведочеа за чудни фасцинација на проблемот … “.
  8. М. Гарднер, Научниот американски Книга на математички загатки и забави, Симон и Шустер, Њујорк, 1959 година (Препечатени и да се ажурира Hexaflexagons и други математички дисциплини, Универзитетот во Чикаго Прес, 1988) [Поглавје 13 од овој прв ваков колекција комбинација на поплочување материјал [6] и [7] и е насловен како “Polyominoes.”]
  9. С. В. Golomb, “тајна одбори и Polyominoes” Амер. Математика. Месечно, 61 (1954), 675-682.
  10. С. В. Golomb, “Генералната теорија на Polyominoes Дел I – домино, Pentominoes и Checkerboards” Рекреативни математика. Маг., Број бр.4 (август, 1961), 3-12.
  11. С. В. Golomb, Polyominoes, Scribner е, Њујорк, 1965 година (второ издание: Polyominoes, загатки, модели, проблеми и пакувања, Princeton University Press, Принстон, 1994 година)
  12. Ј Херман, Р. Kučera и Џ Šimša, броење и конфигурации: Проблеми во Комбинаторика, аритметика, геометрија и (Карл Dilcher, преведувач), Спрингер-Verlag, Њујорк, 2003 година.
  13. Р. Honsberger, Математичка камења II, Математичка асоцијација на Америка, Вашингтон, 1976 година.
  14. Р. Johnsonbaugh, дискретна математика, шесто издание, Пирсон Prentice Hall, Горна Река самарче, Њу Џерси, 2005 година.
  15. Д. Klarner, кутија за пакување Загатки. Multilithed белешки, Универзитетот на Ватерло, Онтарио, 1973-74. 42 страници + наслов на страница. (Делови од ова се дадени во поглавјето 8 од Honsberger [13].)
  16. Г. Е. Мартин, Polyominoes, Водич за загатки и проблеми во Облицовка, Математичка асоцијација на Америка, Вашингтон, 1991 година.
  17. Г. Е. Мартин, преглед на С. Polyominoes Golomb е (1994 издание), Математичка Критика, MR1291821 (95k: 00006), 1995 година.
  18. I. Mizniks, “Компјутер Анализа на 3 Боја Проблем за V-форми”, Acta Societatis Mathematicae Latviensis, изводи од 5-ти Латвиски Математичка конференција, Април 6-7, 2004, Daugavpils, Латвија. (Достапно на http://www.de.dau.lv/matematika/lmb5/tezes/Mizniks.pdf)
  19. Р. Б. Nelsen, Докази без зборови II, повеќе вежби во визуелно размислување, Математичка асоцијација на Америка, Вашингтон, 2000 година.
    К. Х. Росен, Дискретна математика и неговите апликации, Петтото издание, McGraw-Hill, Њу Јорк, 2003. (За да се појави како пример 13, Дел 4.1, на шестото издание, 2007 година)
  20. Ј Н. Силва (ур.) Рекреативни математика колоквиум I (Зборник на трудови, април 29 – мај 2, 2009 година на Универзитетот во Евора), Associação Ludus, Lisboa, 2010 година.
  21. Д. Singmaster, преглед на Г. Е. Polyominoes Мартин, Математичка Критика, MR1140005 (93d: 00006), 1993 година.
  22. А. Soifer, геометриски етиди во комбинаторна математика, второ издание, Спрингер, Њујорк, 2010 година.
  23. Н. Стар “Tromino Облицовка Недостаток на коцки од страна должина 2n”, Geombinatorics XVIII (2) (2008), 72-87.
  24. Н. Стар “Tromino Облицовка Недостаток на коцки од која било страна Должина”, http://arxiv.org/abs/0806.0524, 3 јуни 2008 година.
  25. Д. Ј Velleman, како да се докаже: структуриран пристап, второ издание, Cambridge University Press, New York, 2006

Log in with your credentials

Forgot your details?

ARE YOU READY? GET IT NOW!
Increase more than 500% of Email Subscribers!
Your Information will never be shared with any third party.
Get a Free Quote Now
Success! Your request has been submitted.
Get a Quick Quote
Get a Free Quote Now
Success! Your request has been submitted.
Get a new copy of this list each time it's updated.
(Don't worry, we hate spam too)
We'll Let You Know When We Update This List.
Wait! We update this list regularly.
Subscribe to get notified when we add new shippers.
Don't worry, we hate spam too.
Get a new copy of this list each time it's updated.
(Don't worry, we hate spam too)
We'll Let You Know When We Update This List.
GET THE LATEST UPDATES
Wait a minute! Before you go, complete this form so we can let you know when this list is updated.
Don't worry, we hate spam too.
Success! We'll Let You Know When We Update This List.
Get Notified When This List Is Updated
Wait a minute! We update this list on a regular basis. Do you want to get notified as soon as changes are made?
* Don't worry, we hate spam too.
Form submitted, we'll let you know.