тропски интерполација

http://www.math.tamu.edu/~sottile/research/stories/MSRI04/index.html

Frank Sottile

9 октомври 2004 година, колеџ станица, Тексас.
Секој знае дека за две точки утврди линија, и многу луѓе, кои ги проучувале геометрија знаат дека пет поени во авионот се утврди со конусот. Во принцип, ако имаш сум случајни точки во рамнината и сакате да го помине рационална крива на степенот г низ сите нив, може да има решение за овој интерполација проблем (ако m е премногу голем), или бесконечен број на решенија (ако m е премногу мал), или ограничен број на решенија (ако m е само во право). Излегува дека “ m само право ” значи m = 3d-1 (m = 2 за линии и m = 5 за конусни пресеци).

Потешко прашање е, ако m = 3d-1, колку рационално криви на степен г вметнување на точки? Ајде да го повикате бројот НД, така што N1 и N2 = 1 = 1 затоа што линијата и конусни од претходниот став се уникатни. Тоа одамна е познато дека N3 = 12, а во 1873 година Zeuthen [Зи] покажа дека N4 = 620. Тоа беше местото каде работите застана пред околу десет години, кога Kontsevich и Manin [km] се користи асоцијативност во квантната Кохомолошкиот да им даде елегантен рекурзија за овој број.

теми за истражување во 2004 година семестар MSRI Зимски на тополошки аспекти на реалната алгебарската геометрија вклучени enumerative вистински алгебарската геометрија, тропски геометрија, вистински криви авион, и примена на вистински алгебарската геометрија. Сите се исткаени заедно во ваквиот развој приказна на оваа интерполација проблем, проблемот на прототипа enumerative геометрија, која е уметност на броење на геометриски фигури утврдени со дадените услови инциденца. Еве уште еден проблем: како многу линии во просторот исполнат четири дадени линии? Да одговорат на ова, имајте во предвид дека три линии лежат на уникатен двојно-владеел хиперболоидна.
4lines
Трите линии се во еден пресудата, а втората одлука се состои од линии задоволување на дадени три линии. Од хиперболоидна е дефинирана со квадратна равенка, на четвртата линија ќе се сретнат во две точки. Низ секоја од овие две точки, постои линија во втората пресуда, а тоа се две линии задоволување на нашите четири дадени линии.

број геометрија работи најдобро во текот на комплексни броеви, како и бројот на вистински личности зависи доста суптилно од конфигурацијата на бројките давање услови инциденцата. На пример, на четвртата линија може да ги задоволи хиперболоидна во две вистински поени, или во две комплексни спрегнат поени, и така постојат две или без вистинска линии исполнувањето на сите четири. Врз основа на многуте примери, ние сме се да се очекува дека секој enumerative проблем може да ги имаат сите на своите решенија да бидат вистински [Значи].

Друг таков проблем е 12 рационално криви interpolating 8 поени во авионот. Повеќето математичари се запознаени со јазол (рационално) кубни прикажани на левата страна подолу. Постои и друг тип на недвижен рационално кубен, што е прикажано на десната страна.
renodesconodes

 

 

 

 

Во втората крива, две комплексни гранки конјугирана се сретнат на изолирани точка. Ако го оставиме N (t) е бројот на вистински облини од типот Т interpolating 8 дадени точки, а потоа Kharlamov и Degtyarev [Данска] покажа дека

N()   –   N()   =   8 .
Еве опис на нивните основни тополошки методи.

Бидејќи има најмногу 12 како криви, N () + N () \ Leq 12, и така има 8, 10, или 12 вистински рационално паралелопипеди interpolating 8 вистински точки во рамнината, во зависност од бројот (0, 1, или 2) на паралелопипеди со изолиран точка. Така ќе има 12 вистински рационално паралелопипеди interpolating било 8 од 9 точки на пресекот на две паралелопипеди подолу.

Welschinger [W], кој беше MSRI postdoc минатата зима, развиен овој пример во теорија. Во принцип, сингуларитети на вистинска рационално авионот крива C се јазли или изолирани поени. Паритетот на бројот на јазли е неговата знак s (C), кој е 1 или -1. Со оглед на 3d-1 недвижен точки во рамнината, Welschinger апсолутната вредност на количество
s(C),
сумата над сите вистински рационално криви C степен на d дека вметнување на поени. Тој покажа дека овој збир не зависи од изборот на поени. Напиши Wd за овој непроменлив на Welschinger. На пример, ние само видов дека W3=8.
Ова беше важен чекор, како Wd (речиси) секогаш прв вистински не-тривијални непроменливи во enumerative вистински алгебарската геометрија. Имајте на ум дека Wd
е долната граница за бројот на вистински рационално криви преку 3D-1 недвижен точки во рамнината, и Wd\leq Nd.
.
Mikhalkin, кој беше организатор на семестарот, под клуч за компјутерска Wd користење тропски алгебарската геометрија [Ми]. Ова е геометријата на тропски semiring, каде што работата на максимум и + на реални броеви замени вообичаените операции на + и множење. Тропскиот полином е piecewise линеарна функција на формата

T(x,y)  =  max(i,j) {xi  +  yj  + ci,j} ,
каде што пресметката е со вообичаените аритметички операции, а максималната е преземена конечен подмножество наTropical Interpolation Z2 на експонати на Т и ci,j се реални коефициенти број на Т. Тропскиот полином Т дефинира тропски крива, која е збир на точки (x, y), каде што T (x, y) не е диференцијабилните. Еве некои тропски криви.
tropical
Степенот на тропски крива е бројот на зраци со тенденција да бесконечност во било кој од три насоки запад, југ, или Северна Исток. Тропскиот крива е рационално и ако тоа е piecewise-линеарни потопување на дрво. Јазли валентни 4.

Mikhalkin покажа дека има само finitely многу рационално тропски криви на степен г interpolating 3d-1
генерички поени. Додека бројот на таквите криви зависи од изборот на поени, Mikhalkin прилог позитивни многукратности на секое тропски крива, така што пондериран збир не се случи, и е всушност еднаков на Nd
. Тој исто така ги намали овие многукратности и броење на тропски криви на комбинаториката на решетката патеки во рамките на триаголникот на страна должина d.
Mikhalkin користи преписка вклучувајќи ги Пријавете се на сајтот:(C*)2 –> Rе дефинирано од страна на (x, y) | -> (Најави | x |, влези | Y |), а во одреден `голем комплекс граница” на сложената структура на (C*)2. Во рамките на овој голем комплекс граница, рационално криви на степен г interpolating 3d-1 поени (C*)2 деформира на `комплекс тропски криви”, чии слики под Логирајте се обични тропски криви interpolating сликите на поени. Мноштво на тропски крива Т е број на комплексни тропски криви кој проект на Т.

Што е со вистински криви? По оваа преписка, Mikhalkin спроведен вистински мноштвото едни тропски крива и покажа дека ако тропски криви interpolating даден 3d-1 точки имаат вкупно вистински мноштвото N, тогаш постојат 3d-1 недвижен точки кои се интерполирани од N вистински рационално криви на степен d. Оваа вистинска разновидност повторно е изразена во смисла на решетка патеки.

Што е со непроменливи Welschinger е? На ист начин, Mikhalkin прилог потпишан тежина на секоја тропски крива (тропска верзија на знак Welschinger) и покажа дека соодветните збир е еднаков Welschinger е непроменлива. Како и досега, овој тропски потпишан тежина може да се изрази во смисла на решетка патеки.

Во текот на семестарот во MSRI, Itenberg, Kharlamov и Shustin [ИКС] се користат резултати Mikhalkin е да се процени Welschinger е непроменлива. Тие покажаа дека Wd\ geq d! / 3, а, исто така,

логирате W= логирате N+ O (d), влези Nd = 3d logd + O (d).

Така барем логаритамски, најрационален криви на степен d interpolating 3d-1 недвижен точки во рамнината се реални.
Постојат два други случаи на овој феномен на долните граници, од кои првиот е постара од работа Welschinger е. Да претпоставиме дека г е дури и нека W (а) да биде вистински полином k (г-k + 1). Потоа Eremenko и Gabrielov [на пр] покажа дека постојат вистински полиномите f1 (и), …, fk (и) степен г чија Wronski одредница е W (а). Всушност, тие се покажаа на долната граница на бројот на К-торки од полиноми, до еквивалентност. Слично на тоа, а во MSRI, Soprunova и јас [SS] студирал редок полином системи поврзани со posets, кои покажуваат дека бројот на вистински решенија се граничи подолу од страна на знак-нерамнотежа на poset. Таквите долните граници на enumerative проблеми, што укажува на постоење на вистински решенија, се важни за апликации.

На пример, и оваа приказна се раскажува со пиво една вечер во MSRI Работилница за геометриски моделирање и Реал алгебарската геометрија во април 2004 година учесник, Schicho, сфати дека резултатот W3 = 8 за паралелопипеди објасни зошто метод, тој го развива секогаш се чинеше работа. Ова беше алгоритам за да се пресмета приближна parametrization на лак на крива, преку вистински рационално кубни interpolating 8 поени на лакот. Таа остана да се најде услови кои се гарантира постоењето на решение кое е во близина на лак. Ова беше само се реши со Фидлер-Ле Touzé, на MSRI postdoc кој студирал паралелопипеди (не мора рационално) interpolating 8 поени за да им помогне класифицираат вистински авион криви на степен 9.
библиографија
[Данска] А. И. Degtyarev и В. М. Kharlamov, тополошки својства на вистински алгебарски сорти: начин Rokhlin е, Uspekhi Мат. Nauk 55 (2000), бр. 4 (334), 129–212.
[EG] А. Eremenko и А. Gabrielov, Степени на вистински карти Wronski, Дискретни Comput. Geom. 28 (2002), бр. 3, 331–347.
[ИКС] I. Itenberg, В. Kharlamov и Е. Shustin, логаритамски еквивалентност на Welschinger и Громов-Witten invariants, arXiv: math.AG/0407188.
[Km] М. Kontsevich и Ју. Manin, Громов-Witten класи, квантната Кохомолошкиот и enumerative геометрија, Comm. Математика. Phys. 164 (1994), бр. 3, 525–562.
[Ми] Г. Mikhalkin, Enumerative тропски алгебарската геометрија во R2, arXiv: math.AG/0312530.
[SS] Е. Soprunova и Ф. Sottile, долните граници за вистински решенија за редок полином системи, arXiv: math.AG/0409504.
[Значи] Ф. Sottile, Enumerative вистински алгебарската геометрија, алгоритамски и квантитативни вистински алгебарската геометрија (Piscataway, Њу Џерси, 2001), DIMACS Сер. Дискретна математика. Theoret. Comput. Sci., Т. 60, Амер. Математика. СПЦ., Провиденс, Р.И., 2003 година, стр. 139–179.
[W] J.-Y. Welschinger, invariants на недвижен рационално symplectic 4-водот и долните граници во реално enumerative геометрија, В. Р. математика. Акад. Сци. Париз 336 (2003), бр. 4, 341–344.
[Зи] Х. Г. Zeuthen, Almindelige Egenskaber VED Systemer AF авион Kurver, Данске Videnskabernes Selskabs Skrifter, Naturvidenskabelig og Mathematisk, AFD. 10 Bd. IV (1873), 286–393.
Ние благодарно се заблагодарам на нашите уредник, Силвио Леви и членови на MSRI чија работа ја опише.

Log in with your credentials

Forgot your details?

ARE YOU READY? GET IT NOW!
Increase more than 500% of Email Subscribers!
Your Information will never be shared with any third party.
Get a Free Quote Now
Success! We'll be in touch.
Get a Quick Quote
Get a Free Quote Now
Get a new copy of this list each time it's updated.
(Don't worry, we hate spam too)
We'll Let You Know When We Update This List.
Wait! We update this list regularly.
Subscribe to get notified when we add new shippers.
Don't worry, we hate spam too.
Get a new copy of this list each time it's updated.
(Don't worry, we hate spam too)
We'll Let You Know When We Update This List.
GET THE LATEST UPDATES
Wait a minute! Before you go, complete this form so we can let you know when this list is updated.
Don't worry, we hate spam too.
Success! We'll Let You Know When We Update This List.
Get Notified When This List Is Updated
Wait a minute! We update this list on a regular basis. Do you want to get notified as soon as changes are made?
* Don't worry, we hate spam too.
Form submitted, we'll let you know.